Эта публикация цитируется в
3 статьях
Решетки многообразий и свободные алгебры
Д. М. Смирнов
Аннотация:
Йонсон и Тарский (РЖМат, 1962, ЗА72) установили, что в многообразии
алгебр
$\langle A,\varphi_1,\varphi_2,\omega\rangle$ типа
$\langle1,1,2\rangle$, определяемом тождествами
$\varphi_1(\omega(x_1,x_2))=x_1$,
$\varphi_2(\omega(x_1,x_2))=x_2$,
$\omega(\varphi_1(x),\varphi_2(x))=x$, все свободные алгебры (ненулевого) конечного ранга изоморфны между собой. Сверчковский (РЖМат, 1962,
4А273) рассмотрел многообразия
$\mathfrak A_{m,n}$ (
$1\leq m<n$) алгебр $\langle A,\varphi_1,\dots,\varphi_n,\omega_1,\dots,\omega_m\rangle$ типа
$\langle m,\dots,m,n,\dots,n\rangle$, определяемые системами тождеств
\begin{align}
\varphi_i(\omega_1(x_1,\dots, x_n),\dots,\omega_m(x_1,\dots, x_n))
&=x_i\quad (i=1,\dots,n),\label{1}\\
\omega_j(\varphi_1(x_1,\dots,x_m),\dots,\varphi_n(x_1,\dots,x_m))&=x_j
\quad (j=1,\dots,m), \label{2}
\end{align}
и показал, что при фиксированных
$m,n$ свободные
$\mathfrak A_{m,n}$ – алгебры
$\mathbf F_k,\mathbf F_l$ конечных рангов
$k\neq l$ изоморфны тогда и только тогда, когда
$k\equiv l\pmod{(n-m)}$,
$k\geq m$ и
$l\geq m$. Сверчковским было установлено также, что в произвольном многообразии
$\mathfrak M$ алгебр свободные алгебры
$\mathbf F_m,\mathbf F_n$ конечных рангов
$m\neq n$ изоморфны тогда и только тогда, когда для некоторых термов
$\varphi_i(x_1,\dots, x_m)$,
$\omega_j(x_1,\dots,x_n)$ (
$i=1,\dots,n$;
$j=1,\dots,m$) от основных операций
$\mathfrak M$ имеют место тождественные соотношения \eqref{1}, \eqref{2}. Таким образом, многообразия
$\mathfrak A_{m,n}$ представляют определенный интерес в общей алгебре и
могут служить объектом изучения. Были исследованы (см. РЖМат., 1969,
4А263) решетки (структуры)
$L(\mathfrak A_{m,n})$ подмногообразий
$\mathfrak A_{m,n}$ при
$m\neq n$, а также при
$m=n$.
Пусть
$\mathfrak B_{m,n}$ – многообразие алгебр $\langle A,\varphi_1,\dots,\varphi_n,\omega_1,\dots,\omega_m\rangle$ типа
$\langle m,\dots,m,n,\dots,n\rangle$ (
$1\leq m\leq n$), определяемое системой тождеств \eqref{1}, и
$\mathfrak C_{1,n}$ – многообразие алгебр $\langle A,\varphi_1,\dots,\varphi_n,\omega\rangle$ типа
$\langle1,\dots,1,n\rangle$ (
$n\geq1$), определяемое одним тождеством
$\omega(\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x))=x$. Доказано, что многообразие
$\mathfrak A_{1,n}$ является единственным максимальным подмногообразием многообразия
$\mathfrak B_{1,n}$ для каждого целого числа
$n\geq1$. При
$n\geq m\geq 2$ многообразие
$\mathfrak A_{m,n}$ не
является наибольшим в
$\mathfrak B_{m,n}$ и при
$n\geq2$ многообразие
$\mathfrak A_{1,n}$ не является наибольшим в
$\mathfrak C_{1,n}$. Доказано, что все многообразия
$\mathfrak A_{m,n}$ (
$1\leq m\leq n$) и
$\mathfrak B_{1,n}$ (
$1\leq n$) шрейеровы. Многообразие
$\mathfrak M$ алгебр называется регулярным, если в нем свободная алгебра
$\mathbf F_{r+1}$ ранга
$r+1$ не вложима изоморфно в свободную алгебру
$\mathbf F_r$ ранга
$r$ для каждого целого числа
$r\geq1$. Для групп понятие
регулярного многообразия было введено П. Нейманом (РЖМат, 1965, 12А233).
Ни одно из многообразий
$\mathfrak A_{m,n}$ (
$1\leq m\leq n$) не является регулярным при
$m\geq1$ или
$n\neq1$. Однако, все подмногообразия многообразия
$\mathfrak B_{1,1}$ регулярны и шрейеровы. [Решетка
$L(\mathfrak B_{1,1})$
изоморфна решетке
$J(0,I_1,I_2)$, получающейся из решетки
$J$ целых положительных чисел с отношением делимости
$(x\leq y\Leftrightarrow x/y)$ последовательным внешним присоединением нуля 0 и двух единиц
$I_1,I_2$.] Доказательство регулярности и шрейеровости многообразий из
$L(\mathfrak B_{1,1})$
основано на рассмотрении некоторых общих свойств многообразий унарных
алгебр, определяемых системой тождественных соотношений от одного неизвестного.
УДК:
519.4
Статья поступила: 26.12.1968