О продолжении одного класса линейных положительных функционалов

В работе приводится ряд необходимых и достаточных условий для продолжения линейных положительных функционалов с подпространством на все пространство с сохранением линейности и положительности.
Центральными результатами работы являются две следующие теоремы. Пусть линейный положительный функционал $f$ задан на подпространстве $E_t$ банахова пространства $E$ с конусом $K$. Обозначим через $L_f$ пересечение $f$ и через $E_{f^-}$ – полуподпространство.
Теорема 1. Для того чтобы линейный положительный функционал $f(K_f\notin L_f)$ можно было продолжить с $E_f$ на все пространство $E$ с сохранением линейности и положительности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из условий:
а) $K\oplus L_f\neq K\oplus E_f$;
б) существуют такие элементы $x_2\in K_f$ и число $\alpha_0>0$, что при всех $x\in K$
$$ \rho(x+x_0,L_f)\geq \alpha_0. $$

Теорема 2. Для того чтобы линейный положительный функционал $f(K_f\not\subset L_f)$ можно было продолжить с $E_f$ на все пространство с сохранением линейности и положительности, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число $\beta_0>0$, что для любого $x\in E_{f^-}$ расстояние
\begin{equation} \rho(x,K)\geq \beta_0\rho(x,L_f). \label{1} \end{equation}

В работе приводятся примеры, которые показывают, что известная теорема М. Г. Крейна о продолжении линейных положительных функционалов не распространяется на случай почти телесных конусов, т. е. на конусы, содержащие почти внутренние точки.