О новой конструкции дедекиндова пополнения векторных структур и $l$-групп с делением

Используется терминология книги Б. З. Вулиха (РЖМат, 1962, 8Б 393). Строятся две близких конструкции $K$-пополнения (дедекиндова условного пополнения) $kX$ для архимедова $K$-линеала $X$, отличные от обычной конструкций, получаемой методом сечений и впервые для этого случая рассмотренной А. И. Юдиным. $K$-линеал называется $K$-линеалом с проекциями, если всякий его элемент можно спроектировать в любую компоненту, или, иначе говоря, всякая его компонента является прямым слагаемым. В предыдущей работе автора (Линейные пространства с дизъюнктными элементами и превращение их в векторные структуры, Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена (328 (1967), 19–43) было доказано, что для всякого $K$-линеала $Y$ существует наименьший в некотором естественном смысле $K$-линеал $pY\supset Y$ с проекциями, называемый $P$-пополнением $Y$. В теореме 2 показывается, что для архимедова $X$ построение $pX$ весьма несложно. Эверетт установил, что для каждого $Y$ существует его $o$-пополнение $oY$ – наименьший в естественном смысле $K$-линеал, в котором всякая $(o)$-фундаментальная последовательность элементов $\{x_n\}$ (т.е. такая, что $|x_{n+p}-x_n|\leq z_n\downarrow0$) $(o)$-сходится к некоторому элементу. Построение $oY$ по $Y$ укладывается, как показал Панантелоу (РЖМат, 1965, ЗА225), в обычную схему Кантора. Для архимедова $X$ можно построить его $R$-пополнение – наименьший в некотором естественном смысле $K$-линеал $rX\supset X$, полный относительно $(r)$-сходимости ($x_n\overset{(r)}\to x$ означает существование элемента $z\geq0$ и последовательности вещественных чисел $\varepsilon_n\downarrow0$ таких, что $|x-x_n|\leq\varepsilon_nz$). Для архимедова $X$ можно считать, что $pX$, $oX$ и $rX$ содержатся между $X$ и $kX$.
В теоремах 4 и 5 показывается, что $kX=rpX=oPX$, т.е. $K$-пополнение $X$ получается как $R$-пополнение (или $o$-пополнение) его $P$-пополнения. Отмечается, что здесь (но не в произвольном случае!) $R$-пополнение также можно получить с помощью схемы Кантора. Результаты остаются в силе для архимедовых $l$-групп с делением, но для произвольных архимедовых $l$-групп места не имеют.