Применение метода парабол к решению вариационных задач с ограничениями

Рассматривается задача минимизации строго выпуклого функционала $f(x)$ на выпуклом замкнутом ограниченном множестве $Q_1$ гильбертова пространства. Пусть известно начальное приближение $x^0$ к точке $x^*$ минимума функционала. Обозначим через $Q$ некоторое замкнутое выпуклое ограниченное множество, содержащее множество $Q_1\cap Q_2$ ($Q\supset Q_1\cap Q_2$), где $Q_2=\biggl\{x:\|x-x^0\|<\delta\sum\limits_{k=0}^\infty h^{m^k-1}\biggr\}$ $0<h<1$, $\delta>0$, $m$ – натуральное число. Последовательные приближения определяются из соотношений
\begin{gather} x^{n+1}\in Q,\quad f_n(x^{n+1})\leq f_n(x),\quad x\in Q,\quad\text{где} \notag\\ f_n(x)=\sum_{k=1}^m\frac1{k!}(f^{(k)}(x^n)(x-k^n)^{k-1},x-x^n), \quad n=0,1,\dots.\notag \end{gather}

Теорема. Пусть выполнены условия: 1) $\|x'-x^0\|\leq\delta$; 2) $f(x)-m+1$ дифференцируемый на $Q$ функционал и $(f''(x)y,y)\geq r\|y\|^2$, $r>0$, $\|f^{(k)}(x)\|\leq N$, $k=3,4,\dots,m+1$ для всех $y$ и для $x\in Q$; 3) $\dfrac{r}2-N\sum\limits_{k=1}^{m-2}\dfrac{d^k}{k!}\geq0$, где $d$ – диаметр $Q$; 4) $h=q^{1/(m-1)}\delta<1$, где
$$ q=N\biggl[m!\biggl(\frac{r}2-N\sum_{k=1}^{m-2}\frac{k+1}{(k+2)!}d^k\biggr) \biggr]^{-1}. $$
Тогда последовательность $\{x^n\}$ сходится к точке $x^*$ минимума функционала $f(x)$ со скоростью, характеризуемой неравенством $\|x^*-x^n\|<\delta\sum\limits_{k=n}^\infty h^{m^k-1}.$
Рассмотрен также вопрос об условиях сходимости процесса, “близкого” к методу парабол.
На основе метода парабол предлагается некоторый вариационный метод решения нелинейных функциональных уравнений
$$ F(x)=0, $$
где $F(x)$ – потенциальный оператор.