О сопряженных эндоморфизмах векторных пространств

Пусть $G$ – векторное пространство над полем $P$ и $A$ – некоторый его эндоморфизм. Тогда $G$ можно рассматривать как модуль над кольцом $K=P[x]$ полиномов от одного неизвестного с коэффициентами из поля $P$, если для любых $\lambda=\sum\limits_{i=0}^n\alpha_ix^i\in K$ и $x\in G$ определить их произведение следующим образом:
$$ \lambda x=\sum_{i=0}^n \alpha_i(A^ix). $$

Элемент $x\in G$ называется алгебраическим, если существует такое $\lambda\neq0$, $\lambda\in K$, что $\lambda x=0$. Обозначим через $O(x)=\{\lambda\in K:\lambda x=0\}$. Элемент называется трансцендентным, если $O(x)=\{0\}$. Обозначим через $W(G)$ совокупность всех алгебраических элементов $K$-модуля $G$. Если $W(G)=G(W(G))=\{0\}$, то $K$-модуль $G$ называется периодическим (трансцендентным) или локально алгебраическим, а эндоморфизм $A$ называется локально алгебраическим (трансцендентным) эндоморфизмом.
Обозначим через $\omega$ множество всех неприводимых полиномов из $K$ с коэффициентом при старшей степени $x$, равным единице. Пусть $\omega_1\subset \omega$. Элемент $x\in G$ называется $\omega_1$-периодическим, если каждый неприводимый делитель порядка элемента $x$ принадлежит $\omega_1$. $K$-модуль $G$ называется $\omega_1$-периодическим, если каждый элемент $K$-модуля $G$ является $\omega_1$-периодическим. $K$-модуль $G$ называется $\omega_1$-делимым, если для любых $\lambda\in\omega_1$ и $x_0\in G$ уравнение $\lambda x=x_0$ разрешимо в $G$. Если $\omega_1=\omega$, то $\omega_1$-делимый $K$-модуль $G$ называется делимым.
Обозначим через $G^*$ векторное пространство, сопряженное к $G$, а через $A^*$ – эндоморфизм, сопряженный к $A$. Естественным образом можно рассматривать $G^*$ как модуль над кольцом $K=P[x]$, но для удобства в этом случае кольцо $K$ обозначается через $K^*$.
Имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. $K^*$-модуль $G^*$ тогда и только тогда обладает $\omega_1$-делимыми $K^*$-подмодулями, когда $K$-модуль $G$ обладает $\omega_2$-периодическими элементами причем $\omega_1\cap \omega_2=\varnothing$.
Теорема 2. $K^*$-модуль $G^*$ обладает трансцендентными элементами тогда и только тогда, когда эндоморфизм $A$ не является алгебраическим.
Теорема 3. Ни при каком эндоморфизме $A$ $K^*$-модуль $G^*$ не является свободным $K^*$-модулем.
Кроме того, в работе изучаются вопросы, связанные с приведением сопряженного оператора к жордановой форме в случае бесконечномерных векторных пространств.