О тензорном произведений ассоциативных $PI$-алгебр

В работе рассматривается тензорное произведение двух ассоциативных $PI$-алгебр над полем характеристики $0$. Доказывается, что это произведение будет $PI$-алгеброй в следующих случаях:
1) В обеих алгебрах выполняется тождественное соотношение вида $[x_{11}x_{12}\dots x_{1k_1}][x_{21}\dots x_{2k_2}]\dots[x_{21}\dots x_{2k_r}]=0$.
2) В одной из алгебр выполняется тождественное соотношение $[x_{11}x_{12}][x_{21}x_{22}]\dots[x_{k_1}x_{k_2}]=0$.
Заметим, что тождественное соотношение вида 1) выполняется во всякой лиево нильпотентной алгебре, а вида 2) – в любой $PI$-алгебре с конечным числом образующих, обладающей тождеством, не выполнимым в алгебре матриц порядка $2$. Вопрос о том, будет ли тензорное произведение ассоциативных $PI$-алгебр также $PI$-алгеброй, остается открытым.