Цепные слева полугруппы

Полугруппа $P$ называется цепной слева, если: (1) для любых различных $a,b\in P$ найдется такой элемент $u\in P$, что $a=ub$ или $b=ua$; (2) если $ua=a\ne0$ или $au=a\ne0$, то $u=1$; (3) если $ab=1$, то $a=b=1$. Полагая $a\le b$, если $a=b$ или $a=ub$ для некоторого $u$, превратим цепную слева полугруппу в линейно упорядоченное множество. Этот порядок согласуется с умножением тогда и только тогда, когда полутруппа субкоммутативна слева, т. е. уравнение $ab=xa$ всегда разрешимо. Множество $K$ всех нильпотентных элементов цепной слева полугруппы с нулем оказывается подполугруппой. Если эта подполугруппа является идеалом, то этот идеал вполне прост и называется ниль-радикалом. Ниль-радикалом обладается всякая субкоммутативная слева цепная слева полугруппа с нулем. Если $N$ – ниль-радикал, то множество $U=\{u\in P|\lambda u=0\text{ для некоторого }\lambda\notin N\}$ называется левым ультрарадикалом. Правый ультрарадикал определяется аналогично. Оба ультрарадикала лежат в ниль-радикале и один из них содержится в другом. Фактор полугруппа по большему из них имеет нулевые ультрарадикалы. Основной результат таков. Пусть $P$ – цепная слева полугруппа с нулем и единицей с нильрадикалом $N$ и нулевыми ультрарадикалами. Тогда множество $\Gamma=P\setminus N$ оказывается цепной слева полугруппой с единицей и без нуля. Отношение $a\sim b$ на $N$, определяемое равенствами $a=\lambda b$ или $b=\lambda a$ для некоторого $\lambda\in\Gamma$, оказывается конгруентностью, а фактор-полугруппа $S=N/\sim$ изоморфна подполугруппе полуинтервала $[1/2,1]$ или отрезка $[1/2,1]$, дополненных нулем, с операциями, задаваемыми по правилам
\begin{equation} \alpha\beta= \begin{cases} \alpha\circ\beta,&\text{ если }\alpha\circ\beta>1/2\text{ или }\ge1/2,\\ 0,&\text{ если }\alpha\circ\beta\le1/2\text{ или }<1/2, \end{cases} \notag \end{equation}
где $\circ$ – обычное умножение. Описана конструкция, позволяющая по заданным полугруппам $\Gamma$ и $S$ построить полугруппу $P$. Кроме того, на цепные слева полугруппы переносится теорема о строении архимедовских линейно упорядоченных полугрупп.