Изоморфизмы полугрупп аффинных преобразований

Пусть $\Omega$ – множество в линейном пространстве $E$, $\mathfrak{G}(E)$ – некоторая группа аффинных преобразований пространства $E$, $\mathfrak{G}(E,\Omega)$ – ее подполугруппа, состоящая из всех $u\in\mathfrak{G}(E)$ таких, что $u\Omega\subset\Omega$.
В случае, когда $\Omega$ – открытое ограниченное множество в нормированном линейном пространстве под недискретным нормированным полем, а $\mathfrak{G}(E)$ – группа гомотетий, показывается, что аффинные и топологические свойства $\Omega$ полностью определяются алгебраическим строением полугруппы $\mathfrak{G}(E,\Omega)$.
Раздел 1 статьи носит вспомогательный характер. Здесь дается определение аффинного полулинейного преобразования и доказывается теорема об изоморфизме групп гомотетий, уточняющая утверждением Р. Бэра об определяемости линейного пространства группой гомотетий. В разделе 2 устанавливается ряд свойств полугрупп $\mathfrak{G}(E,\Omega)$ для множеств из указанного выше класса и, в частности, показывается, что если $\mathfrak{G}(E)$ – группа гомеоморфных аффинных преобразований, содержащая группу гомотетий, то $\mathfrak{G}(E,\Omega)$ порождает $\mathfrak{G}(E)$. Наконец, в разделе 3 для таких множество доказывается теорема, утверждающая, что, если для множеств $\Omega_i\subset E_i$ ($i=1,2$) полугруппы $\mathfrak{G}(E_1,\Omega_1)$ и $\mathfrak{G}(E_2,\Omega_2)$ изоморфны, то сами множества топологически и аффинно эквивалентны, причем всякий изоморфизм $\varphi$ полугруппы $\mathfrak{G}(E_1,\Omega_1)$ на $\mathfrak{G}(E_2,\Omega_2)$ индуцирован гомеоморфным аффинным полулинейным отображением $f$ $E_1$ на $E_2$ таким, что $f\Omega_1=\Omega_2$.