О кольцах Рисса

Направленное кольцо $R$ называется кольцом Рисса (см. Fuchs L., Riesz Rings. Math. Ann., 166 (1966), 24–33), если оно удовлетворяет следующему “интерполяционному свойству Рисса”: если $a,b,c,d\in R$ из таковых, что $a\leq c$, $a\leq d$, $b\leq c$, $b\leq d$, то существует элемент $g\in R$, удовлетворяющий неравенствам $a\leq g\leq c$, $b\leq g\leq c$.
$\Phi$ – кольцом называется кольцо Рисса $R$, удовлетворяющее следующему условию: для каждого $O$ – идеала $I\subseteq R$ и любых $a,b,c>0$ в $R$, если $L(a,b)^{+}\subseteq I$, то $L(a,bc)^{+}\subseteq I$ и $L(a,cb)^{+}\subseteq I$. В работе изучаются ассоциативные кольца Рисса.
Для любых $O$-идеалов $I,J$ направленного кольца $R$ определим $O$-произведение $I\cdot J$, полагая
$$ I\cdot J=\{a\in R| (\exists b\in IJ) (a\leq b\text{ и } -a\leq b)\}. $$

$O$-умножение $O$-идеалов ассоциативно. $O$-идеал $I$ называется нильпотентным, если найдется такое натуральное число $n$, что $\underbrace{I \cdot I\cdot\dotso\cdot I}_{n} =\{0\}$.
Элемент $a$ направленного кольца $R$ называется сильно нильпотентным, если существуют элемент $b\in U(a,0,-a)\subseteq R$ и натуральное число $n=n(b)$ такие, что для любых элементов $x_0,x_1,\dots,x_n$ кольца $Rx_0bx_1b\dots x_{n-1}bx_n=0$.
$O$-радикалом $R$ называется множество всех сильно нильпотентных элементов $R$.
Доказаны следующие теоремы:
1) $O$-радикал $N(R)$ кольца Рисса $R$ является $O$-идеалом в $R$ и является объединением нильпотентных $O$-идеалов $R$.
2) Если кольцо Рисса $R$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих или убывающих цепей $O$-идеалов, то $O$-радикал $R$ нильпотентен.
3) Если кольцо Рисса $R$ коммутативно, то фактор-кольцо $R/N(R)$ кольца $R$ по его $O$-радикалу $N(R)$ $O$-полупросто, т.е. $N(R/N(R))=\{0\}$.
4) Если кольцо Рисса $R$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих или убывающих цепей $O$-идеалов, то фактор-кольцо $R/N(R)$ кольца $R$ по его $O$-радикалу $N(R)$ $O$-полупросто.
5) Прямая сумма произвольной системы $\Phi$-колец является $\Phi$-кольцом.
6) $O$-идеалы произвольного $\Phi$-кольца образуют дистрибутивную структуру с псевдодополнениями.