Об одном обобщении функционального уравнения $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Пусть вещественная функция $f$ определена на $L=(0,\infty)$ и при некотором $M\subset L$ и любых $\lambda$, $x\in L$ удовлетворяет уравнению $f(\lambda M+x)=f(\lambda M)+f(x)$ $(*)$. Пусть $M\neq L$ и $E$ связная компонента $L\setminus M$ с $\inf E=a>0$, $\sup E=b<\infty$. Полагаем $r(M)=\sup{\dfrac{b}a}$ по всем $E$ (допуская $r(M)=\infty$).
Теорема 1. Пусть $f$ ограничена снизу и $M\neq L$. Тогда: (1) если $r(M)=\infty$, то $f(x)=\alpha x$, $\alpha=\operatorname{const}\ge0$; (2) если $r(M)=1$, то кроме $f(x)=\alpha x$, $f$ может быть любой ступенчатый следующего вида: существует такая неограниченная последовательность $0=x_0<x_1<\dots<x_n<\dots$, что при всяком $n=0,1,\dots$ $f(x)=nq$, если $x\in[x_n,x_{n+1})$; $q=\operatorname{const}$; (3) если $1<r(M)<\infty$, то помимо $f(x)\alpha x$, $f$ может быть такой же ступенчатой функцией с условием, что при всех $n\geq1$ $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\geq r(M)$, и все такие $f$ удовлетворяют уравнению $(*)$ кроме того случая, когда хотя бы при одном $n$ $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=r(M)$, a $L\setminus M$ содержит промежуток $[a,b]$ с $\dfrac{b}a=r(M)$. Тогда $(*)$ нарушается при $\lambda=\dfrac{x_n}a$.
Теорема 2. Пусть $f$ ограничена снизу и $M=L$. Тогда $f$ либо любой гомеоморфизм $L$ на себя, либо любая ступенчатая как в случае (2) теоремы $1$, либо $f\equiv0$.
Теорема 6–8. Пусть $f$ непрерывна. Тогда если $M=L$, то $f$ либо любая с $f(L+x)=(-\infty,\infty)$, либо любой гомеоморфизм $L$ на себя или на $-L$, либо $f\equiv0$. Если же $M\neq L$, то либо $f(x)=\alpha x$, либо $f$ такова, что $f(L+x)=(-\infty,\infty)$. При этом любая такая $f$ удовлетворяет $(*)$ тогда и только тогда, когда $M$ содержит бесконечный интервал. Если же при некотором а $M\cap (a,\infty)$ пусто или счетно, то необходимо $f(x)=\alpha x$.