Асимптотические разложения для функции распределения максимума сумм независимых одинаково распределенных случайных величин

Пусть $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n,\dots$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения $F(x)$, с $M\xi=0$, $D\xi_i=1$. Положим $\overline{S}_n=\max\limits_{1\leq k\leq n}\sum\limits_{i=1}^k\xi_i$, $\overline{F}_n(x)=\operatorname{Pr}(\overline{S}_n<x)$, $\beta_\nu=M|\xi_1|^\nu$.
В статье получены асимптотические разложения для $\overline{F}_n(x)$.
Теорема. Пусть $\beta_s<\infty$, $s<3$, и $F(x)$ имеет абсолютно непрерывную компоненту. Тогда
$$ \bar F_n(x\sqrt{n})=\Phi_1(x)+e^{-x^2/2}\sum_{\nu=1}^{s-3}\Pi_\nu(x)n^{-\nu/2} +O(\min[n^{-1/2},(1+x^{1-s})n^{(2-s)\ln^2n}]), $$
$x>0$.
Здесь $\displaystyle\Phi_1(x)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^xe^{-u^2/2}\,du$, $\Pi_\nu(x)$ – некоторые полиномы, коэффициенты которых зависят от распределения $F(x)$.
Аналогичный результат имеет место, когда выполняется условие
$$ \varlimsup_{|t|\to\infty}|f(t)|<1,\quad\text{где}\quad f(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\,dF(x). $$