Обобщенные степени автоморфизма и энтропия

Пусть $M$ – пространство Лебега с непрерывной мерой $\mu$, $T$ – его автоморфизм и $\theta(\cdot)$ – такая целочисленная измеримая функция на $M$, что преобразование $S$, определяемое формулой $S_x=T^{\theta(x)}x$, является автоморфизмом. Тогда $S$ назовем обобщенной степенью автоморфизма $T$ с показателем $\theta$ и будем писать $S=T^\theta$.
Главными результатами настоящей статьи являются следующие:
Пусть функция $\theta(\cdot)$ такова, что $T^\theta$ – эргодический автоморфизм, последовательность $\{\theta_n(x)\}_{n=1}^\infty$ почти знакопостоянна на всем $\mod{0}$ пространстве $M$ и нижний предел $N$ последовательности $\{|\theta_n(x)|/n\}_{n=1}^\infty$ конечен. Тогда $h(T^\theta)=Nh(T)$.
Если функция $\theta(\cdot)$ такова, что автоморфизм $T^\theta$ эргодичен и последовательность $\{\theta_n(x)/n\}_{n=1}^\infty$ сходится для почти всех $x\in M$, то следующие два условия эквивалентны:
а) $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\theta_n(x)}n=L$ для почти всех $x\in M$;
б) почти каждый элемент разбиения $\tau_T$ состоит из $|L|$ элементов $\tau_s$ (через $\tau_T$ обозначено разбиение пространства $M$ на траектории автоморфизма $T$).