Оценки отклонения от сферы квазиомбилических поверхностей

Как известно, всякой выпуклой поверхности $M$ соответствует опорная функция $h(x)$, которая является выпуклой и положительно однородной первой степени. Мы говорим, что поверхность $M$ принадлежит классу $W^2_p$, если $h(x)\in W^2_p$. Собственные числа матрицы $\|\partial^2h/\partial x_i\partial x_j\|$ называются радиусами кривизны поверхности $M$ в точке с нормалью $\nu$. С радиусами кривизны можно связать величины, которые равны нулю, когда поверхность $M$ – часть сферы. Эти величины характеризуют отличие поверхности от сферы. В работе в качестве такой характеристики берется величина
$$ \eta_p(M)- \frac{\biggl\{\displaystyle\int_{\nu(M)}\biggl[\sum\limits_{i=1}^{n-1}\bigl(R_i(\nu)-R(\nu)\bigr)^2\biggr]^{p/2}\,d\omega\biggr\}^{1/p}} {\displaystyle\biggl\{\dfrac1{\omega_M}\int_{\nu(M)}\bigl[R(\nu)\bigr]^p\,d\omega\biggr\}^{1/p}}, $$
где $R(\nu)=\dfrac1{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n-1}R_1(\nu)$, $\nu(M)$ – сферическое изображение поверхности $M$, $\omega_M$ – площадь сферического изображения.
Пусть поверхность $M$ содержится в области, границей которой являются концентрические сферы. Рассмотрим отношение радиуса внешней сферы к радиусу внутренней, и пусть $\rho(M)$ – нижняя грань таких отношений по всевозможным областям. В работе даются оценки величины $\rho(M)-1$ через величину $\eta_p(M)$.