Об экстремальном индикаторе целых функций с положительными нулями

Находятся точные оценки сверху и снизу для индикаторов целых функций с положительными нулями при ограничениях, наложенных на максимальную и минимальную $\rho(r)$-плотности функции $N_f(r)$ числа нулей Р. Неванлинны.
Максимальной $\rho(r)$-плотностью функции $N_f(r)$-называется величина
$$ D(f)=\lim_{\xi\to1}\varlimsup_{r\to\infty} \frac{N_f(r)-N_f(r\xi)}{r^{\rho(r)}-\xi^\rho r^{\rho(r)}}; $$
минимальной $\rho(r)$-плотностью – величина
$$ d(f)=\lim_{\xi\to1}\lim_{r\to\infty}\frac{N_f(r)-N_f(r\xi)}{r^{\rho(r)}-\xi^\rho r^{\rho(r)}}. $$
Здесь $\rho(r)$ – некоторый уточненный порядок, $\rho(r)\to\rho$ при $r\to\infty$.
Через $G(\rho(r),D,d)$ обозначим класс целых функций $f(z)$ нецелого порядка $\rho$ с положительными нулями таких, что $d\leq d(f)\leq D(f)\leq D$, $d\leq D<\infty$. Индикаторы $h(\varphi;f)$ и нижние индикаторы $\mathbf h(\varphi;f)$ функции $f(z)$ измеряются относительно того же уточненного $\rho(r)$.
Основой в статье является
Теорема. Для всякой целой функции $f(z)\in G(\rho(r),D,d)$ выполняются неравенства
$$ \rho D_\gamma(\varphi,d/D,\rho)\leq h(\varphi;f)\leq\mathbf h(\varphi;f) \leq \rho DH(\varphi,d/D,\rho) $$
при всех $\varphi\in[0,2)$. При этом существуют функции $f_1(z)$ и $f_2(z)$ из класса $G(\rho(r),D,d)$, для которых $h(\varphi;f_1)=\rho DH(\varphi,d/D,\rho)$ и $h(\varphi;f_2)=\rho D\gamma(\varphi,d/D,\rho)$.
Здесь $H(\varphi,u,\rho)$ и $(\gamma,u,\rho)$ – непрерывные функции от $\varphi ,u$, которые найдены.