О матричных представлениях конечных коммутативных полугрупп

Пусть $\mathfrak{G}$ – конечная коммутативная полугруппа с единицей, $K$ – поле, $F(K)$ – класс конечных полугрупп, имеющих лишь конечное число классов неэквивалентных неразложимых представлений матрицами над $K$. В работе дается критерий принадлежности $\mathfrak{G}$ классу $F(K)$. Пусть $\{e_i|i=1,\dots,n\}$ – совокупность всех идемпотентов $\mathfrak{G}$. Полагаем $e_i\le e_j$, если $e_ie_j=e_i$. Через $\mathfrak{A}_k$ обозначается совокупность всех $x\in\mathfrak{G}$ таких, что $xe_i=x$, $e_i^2=e_i$, влечет $e_i\le e_k$. Тогда $\mathfrak{A}_k=\mathfrak{G}_k\cup\mathfrak{R}_k$ где $\mathfrak{G}_k$ – максимальная подгруппа $\mathfrak{G}$, a $\mathfrak{R}_k$ либо пусто, либо отлично от $\mathfrak{R}_k^2$. Поэтому $\mathfrak{L}_k =\mathfrak{R}_k\setminus\mathfrak{R}_k^2$ не пусто, если $\mathfrak{R}_k$ не пусто. Оказывается, если $\mathfrak{L}_k$ не пусто, то $\mathfrak{L}_k\mathfrak{G}_k=\mathfrak{L}_k$, так что $\mathfrak{L}_k$ можно рассматривать как базу представления $\mathfrak{G}_k$ преобразованиями. Если это представление транзитивно, говорят, что $\mathfrak{G}_k$ действует на $\mathfrak{L}_k$ транзитивно. Критерий принадлежности $\mathfrak{G}$ классу $F(K)$ следующий.
Пусть $K$ – поле характеристики $p$. $\mathfrak{G}\in F(K)$ тогда и только тогда, когда для любого $k=1,\dots,n$: а) если порядок $\mathfrak{G}_k$ делится на $p$, то $\mathfrak{A}_k=\mathfrak{G}_k$ и $p$-силовская подгруппа $\mathfrak{G}_k$ циклична; б) если порядок $\mathfrak{G}_k$ не делится на $p$, то либо $\mathfrak{A}_k=\mathfrak{G}_k$ либо $\mathfrak{G}_k$ действует транзитивно на $\mathfrak{L}_k$.