Финитная отделимость в полугруппах

Полугруппа $S$ называется полугруппой с финитно отделимыми подмножествами, если для любого подмножества $M\subset S$ и любого элемента $a\in S\setminus M$ найдется гомоморфизм $\varphi$ полугруппы $S$ в конечную полугруппу, при котором $\varphi(a)\notin\varphi(M)$. Если вместо всех подмножеств в этом определении рассматривать лишь подполугруппы, то получим определение финитно отделимой полугруппы (РЖМат., 1960, 5А4941). Пусть $S$ – полугруппа и $a$, $b\in S$. Положим $[a:b]=\{(u,v)\in S^1\times S^1|ubv=a\}$, где через $S^1$ обозначена полугруппа, полученная из $S$ внешним присоединением единицы. Перечислим основные результаты. 1) Чтобы полугруппа $S$ была полугруппой с финитно отделимыми подмножествами, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента $a\in S$ среди множеств $[a:x]$, где $x$ пробегает $S$, различных было лишь конечное число. 2) Пусть полугруппа $S$ коммутативна или является коммутативной связкой полугрупп с сокращением. Для того чтобы $S$ была финитно отделима, необходимо и достаточно, чтобы а) любая максимальная подгруппа из $S$ была периодической и финитно отделимой; б) для любого нерегулярного элемента а среди множеств $[a:x]$, где $x$ пробегает $S$, различных – лишь конечное число. 3) Полугруппа без идемпотентов финитно отделима тогда и только тогда, когда она – полугруппа с финитно отделимыми подмножествами. 4) Для того чтобы нильполугруппа была финитно отделима, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ее ненулевого элемента $a$ среди множеств $[a:x]$, где $x$ пробегает $S$, различных – лишь конечное число. 5) Полугруппа $S$ с левым законом сокращения финитно отделима лишь в следующих случаях: a) $S$ нерегулярна и является полугруппой с финитно отделимыми подмножествами; б) $S$ – правая группа, каждая максимальная подгруппа которой является периодической и финитно отделимой. 6) Полугруппа с сокращением финитно отделима лишь в следующих случаях: a) $S$ нерегулярна и каждый ее элемент имеет лишь конечное число различных делителей; б) $S$ – периодическая финитно отделимая группа. В качестве следствия этих результатов получаем, что все полугруппы нижеперечисленных классов полугрупп финитно отделимы: а) класс свободных полугрупп; б) класс свободных коммутативных полугрупп; в) класс свободных нильпотентных полугрупп; г) класс свободных коммутативных нильпотентных полугрупп.