О квазифробениусовости полугрупповой алгебры конечной регулярной полугруппы
И. С. Понизовский
Аннотация:
Пусть
$\mathfrak{G}$ – конечная регулярная полугруппа. Тогда факторы двусторонне-идеального композиционного ряда
$\mathfrak{G}$ – вполне простые полугруппы. Пусть
$\bar{\mathfrak{G}}_i$ – такой фактор. Как вполне простая полугруппа, он определяется заданием группы
$\mathfrak{G}_i$ и матрицы
$P_i$ (вообще говоря, прямоугольной), элементами которой являются либо нули, либо элементы
$\mathfrak{G}_i$. Если
$K$ – поле, то можно считать, что
$P_i$ – матрица над групповой алгеброй
$K\mathfrak{G}_i$. О квадратной матрице
$P_i$ скажем, что она обратима, если
$P_i$ обратима в соответствующем полном кольце матриц над
$K\mathfrak{G}_i$. О понятиях квазифробениусовости, фробениусовости и симметрии алгебр см. Curtis С. W., Reiner I., Representation theory of finite groups and associative algebras, New York – London, 1962.
Работа посвящена доказательству теоремы:
1) полугрупповая алгебра
$K\mathfrak{G}$ конечной регулярной полугруппы
$\mathfrak{G}$ над полем
$K$ квазифробениусова тогда и только тогда, когда определяющие матрицы всех факторов двустороннеидеального композиционного ряда
$\mathfrak{G}$ квадратны и обратимы;
2) если
$K\mathfrak{G}$ (
$K\mathfrak{G}$ те же, что и в 1) квазифробениусова, то
$K\mathfrak{G}$ симметрична, так что в классе полугрупповых алгебр конечных регулярных полугрупп над полями понятия квазифробениусовости, фробениусовости и симметричности совпадают;
3) если
$p$ – характеристика поля
$K$,
$\mathfrak{G}$ то же, что и в 1), и имеет место импликация:
$X\in\mathfrak{G}$.
$X^{p+1}=X\Rightarrow X^2=X$, то из квазифробениусовости
$K\mathfrak{G}$ следует полупростота
$K\mathfrak{G}$, так что в классе таких полугрупповых алгебр совпадают понятия квазифробениусовости, фробениусовости, симметричности и полупростоты.
УДК:
519.4
Статья поступила: 14.03.1968