О разрешимости обратной задачи объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному

Исследуется указанная обратная задача метагармонического потенциала (РЖМат., 1964, 75311). Рассматривается односвязная область с границей $S$ класса $A^{(2,\lambda)}$. Пусть известен метагармонический ($\varkappa\geq0$) потенциал $U(x;T,\mu)$ тела $T$ плотности $\mu$.
Предположим, что вне области $T_0$, лежащей внутри $T$ на положительном расстоянии $d$ от границы $S$, задана метагармоническая функция $H$, которая на бесконечности ведет себя как метагармонический потенциал. Дополнительно предполагаем, что 1) $\mu(y)$ – есть заданная действительная аналитическая функция в области $D\supset\overline{T}$, $\mu(y)$ всюду на $S$ отлична от нуля, 2) каждая из величин
$$ \biggl\|\frac{\partial H}{\partial\nu}-\frac{\partial U(T,\mu)}{\partial\nu}\biggr\|, \quad \biggl\|\frac{\partial^2H}{\partial\nu^2}-\frac{\partial^2U(T,\mu)}{\partial\nu^2} \biggr\| $$
не превышает $\omega C$, где $0<\omega<d$, $C=C(T)$, $\omega=\omega(T,\mu,\varepsilon_0,d)$, норма $\|\cdot\|$ эквивалентна норме в пространстве $C^{(1,\lambda)}(s)$, $\nu$ – заданное число, отложенное по внешней нормали к поверхности $S$. Пусть $\{S_1\}$ класс поверхностей, уравнение которых в криволинейной системе координат имеет вид $\{\nu=\zeta(\xi\eta)\}$, $|\nu|\leq\varepsilon_0$, $\zeta\in C^{(1,\lambda)}$. При этих условиях на тело $T$, поверхности $S$ и функции $S_1$, $H$, $U(T,\mu)$ имеет место следующая теорема: существует и притом единственная поверхность $S_1$, ограничивающая тело $T_1$, удовлетворяющая условию $\|\zeta\|<d$ такая, что внешний метагармонический потенциал $U(x;T_1,\mu)$ тела $T_1$ плотности $\mu$ равен заданной метагармонической функции $H$ в области внешней относительно поверхности $S_1$. Основная теорема справедлива и для ньютоновского потенциала, причем в отличие от известных результатов (РЖМат., 1957, 5591) отсутствуют ограничения “звездности” на тело $T$, а также рассмотрен общий класс переменных плотностей.