Алгебры, все подалгебры которых $PI$-алгебры

Рассматриваются алгебры над полем характеристики $0$, каждая собственная подалгебра которых удовлетворяет некоторому тождеству. Такие алгебры будем называть $R$-алгебрами. При некоторых ограничениях показывается, что $R$-алгебра сама удовлетворяет некоторому тождеству. В частности, $R$-алгебра над несчетным полем, не являющаяся $PI$-алгеброй, может быть только счетно-мерной локально нильпотентной. В общем же случае вопрос о существовании $R$-алгебры, не удовлетворяющей никакому тождеству, остается открытым.
Редеи и Бусаркина изучали некоммутативные кольца, все подкольца которых коммутативны. Ими был поставлен вопрос о существовании бесконечного кольца с этим условием. Естественно, если в формулировке кольца заменить на алгебры, а бесконечность – на бесконечномерность, то получим такую же задачу для алгебр над полем. Доказывается, что некоммутативная алгебра над несчетным полем, все подалгебры которой коммутативны, является конечномерной.