О собственных функциях краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе плоской области

Пусть $G$ – ограниченная линией $\Gamma$ открытая плоская область и $\gamma_0$ – расположенная на оси $y=0$ часть $\Gamma$, на которой вырождается уравнение
\begin{equation} Lu\equiv -(Au_x)_x-(Bu_y)_y+C(x,y)u(x,y)=\lambda\sigma(x,y)u(x,y), \label{1} \end{equation}
где коэффициенты $A(x,y)$, $B(x,y)$ положительны и принадлежат классу $C_{1,\alpha}$, а коэффициенты $C(x,y)$, $\sigma(x,y)$ положительны и принадлежат классу $C_{0,\alpha}$, а $\overline{G}-\gamma_0$. Функция $\sigma(x,y)$ суммируема в $G$ и равномерно относительно $\gamma_0$ выполняется соотношение
\begin{equation} \lim_{y\to0}\frac{\sigma(x,y)}{C(x,y)}=0. \label{2} \end{equation}
На границе области ставится одно из условий
\begin{equation} u|_{\Gamma-\gamma_0}=0\quad [u|_\Gamma=0]. \label{3} \end{equation}

Пусть для любого вещественного $\lambda$ существует положительная функция $w_\lambda(x,y)$, равномерно относительно $\gamma_0$ стремящаяся к бесконечности при $y\to0$ и такая, что $Lw_\lambda-\lambda\sigma w_\lambda>0$ в некоторой окрестности $\gamma_0$ (существует функция $v_\lambda(x,y)$, называемая “барьером”). Тогда задача \eqref{1}, \eqref{3} имеет счетную неубывающую с ростом номера последовательность положительных собственных значений $\lambda^{(k)}$ с единственной предельной точкой в бесконечности и соответствующая им система ограниченных в $G$ собственных функций $u^{(k)}(x,y)\in C_{2,\alpha}(G)$ является полной ортонормированной в гильбертовом пространстве $L_2(G,\sigma)$ измеримых функций, квадраты которых, помноженные на $\sigma(x,y)$, суммируемы в $G$.