О локальности функциональных векторных структур

Если $H$ – множество функций на топологическом пространстве $T$, то функция $x$ на $T$ называется $H$-локальной, когда для любой $t\in T$ найдется $h_t\in H$ такая, что $x$ и $h_t$ совпадают в некоторой окрестности точки $t$. Если всякая $H$- локальная функция попадает в $H$, то $H$ называется локальным.
Оказывается, что если $X$ – архимедов $K$-линеал, то все его реализации на экстремально несвязном бикомпакте локальны или нет одновременно. Это позволяет говорить о (канонической) локальности самого $K$-линеала. Устанавливается, что $X$ канонически локален тогда и только тогда, когда он является $K$-линеалом с проекциями. $X$ всегда локально изоморфен со своим пополнением $\bar X$ с помощью проекций (А. И. Векслер, Линейные пространства с дизъюнктными элементами и превращение их в векторные структуры. Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, 328 (1967), 19–43), т. е. при общей реализации $X$ и $\bar X$ множества $X$-локальных и $\bar X$-локальных функций совпадают. Выясняется, при какой дополнительной информации $X$ может быть однозначно восстановлен, если известно его локальное строение для некоторой реализации ($K$-линеал с проекциями, как следует из вышесказанного восстанавливается однозначно без дополнительной информации). Изложение ведется параллельно для $K$-линеалов и $K$-линеалов функций.