Некоторые теоремы о полунепрерывности и сходимости с функционалом

Рассматриваются функционалы $F$ на некотором локально-выпуклом пространстве $X$, которые могут принимать значение $\infty$.
Основной результат статьи – теорема следующего содержания. Пусть дана последовательность функционалов $\{F_m\}$ ($m=1,2,\dots$) такая, что при $m\to\infty$ $F_m\to F_0$ равномерно на всяком ограниченном множестве в $X$. Предположим, что $\{x_m\}$ – последовательность точек пространства $X$, слабо сходящаяся к некоторой точке $x_0\in X$. Кроме того, предполагается, что при $m\to\infty$
\begin{equation} F_m(x_m)\to F_0(x_0). \label{1} \end{equation}
Устанавливается, что при некоторых условиях выполнение соотношения \eqref{1} гарантирует выполнение неравенства $\lim K_m(x_m)\geq K_0(x_0)$ при $m\to\infty$ для любой последовательности функционалов $\{K_m\}$, сходящейся при $m\to\infty$ к $K_0$ равномерно на всяком ограниченном множестве в пространстве $X$ и мажорируемых снизу в некотором смысле функционалами $\{F_m\}$. При этом налагаются следующие ограничения на поведение функционалов $F_m$, $F_0$: 1) функционалы $F_m$ выпуклы при всех $m=1,2,3,\dots$, 2) $F_0$ – сильно выпуклый функционал.
Условие сильной выпуклости существенно только в бесконечномерном случае и эквивалентно в некотором смысле неравенству Иенсена в конечномерных пространствах.