О слабо разрешимом радикале алгебр Ли

Пусть $f_n=0$ – тождество, определяющее разрешимость индекса $n$ в неассоциативных алгебрах. Алгебра Ли $\mathfrak{B}$ называется слабо разрешимой, если для любого конечного множества элементов $x_i\in\mathfrak{B}$ существует такое $n$, что $f_n$ обращается в $0$ на подпространстве, порожденном элементами $x_i$.
Доказано, что свойство слабой разрешимости в алгебрах Ли является радикальным в смысле Куроша, слабо разрешимый радикал алгебры Ли $\mathfrak{B}$ над полем характеристики $0$ является характеристическим, т. е. замкнут относительно всех дифференцирований. Приводится пример, показывающий, что образ локально нильпотентного радикала алгебры Ли при некотором дифференцировании может не содержаться в сумме таких идеалов, каждая конечнопорожденная подалгебра которых удовлетворяет какому-либо нетривиальному тождеству, даже в случае характеристики $0$. Отсюда следует, в частности, отрицательный ответ на известный вопрос Б. И. Плоткина, будет ли сумма всех локально разрешимых идеалов произвольной алгебры Ли характеристическим идеалом. Другое следствие состоит в том, что локально нильпотентный радикал алгебры Ли над полем характеристики $0$ не является, вообще говоря, характеристическим. Последний результат был получен ранее (см. РЖМат., 1968, 6 А311).
Этот пример показывает, что сумма всех локально разрешимых идеалов алгебры Ли характеристики $0$, вообще говоря, строго содержится в ее слабо разрешимом радикале, т. е. класс локально разрешимых алгебр Ли строго содержится в классе слабо разрешимых алгебр Ли.