Эта публикация цитируется в
1 статье
Об одном свойстве единственности
В. И. Шевцов
Аннотация:
Пусть
$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n$ – фиксированная целая функция конечного порядка
$\rho$ и нормального типа
$\sigma$, причем
$a_n\neq0$ (
$n=0,1,2,\dots$),
$\lim\limits_{n\to\infty}n^{1/\rho}\sqrt[n]{|a_n|}=(\sigma e\rho)^{1/\rho}$, $L(\lambda)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_k\lambda^k$ – целая функция конечного порядка
$\rho_1>\rho$ и типа
$\sigma_1$. Обозначим через
$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,\dots$
нули функции
$L(\lambda)$, расположенные в порядке возрастания их модулей.
Возьмем произвольную целую функцию
$F(z)=\sum_{0}^\infty b_nz^n$ порядка
$\rho_2$ и
типа
$\sigma_2$ такую, что выполнено одно из условий:
(A)
$\rho_2<\rho_1\rho/(\rho_1-\rho)$, (B)
$\rho_2=\rho_1\rho/(\rho_1-\rho)$, $(\sigma_2\rho_2)^{1/\rho_2}(\sigma_1\rho_1)^{1/\rho_1}<(\sigma\rho)^{1/2}$.
Положим
$$
\omega_L(\mu,F)=\sum_{k=1}^\infty c_k\biggl[
b_{k-1}\frac{a_0}{a_{k-1}}+\mu b_{k-2}\frac{a_0}{a_{k-2}}+\dots+\mu^{k-2}b_1\frac{a_0}{a_1}+\mu^{k-1}b_0\biggr].
$$
Функции
$F(z)$ поставим в соответствие ряд
\begin{equation}
\sum_{n=1}^\infty K_n(z),\quad K_n(z)=\frac1{2\pi i}\int_{B_n}
\frac{\omega_L(\mu,F)}{L(\mu)f(0)}f(\mu z)\,d\mu;
\label{1}
\end{equation}
здесь
$B_n$ – замкнутый контур, внутри которого лежит нуль
$\lambda_n$ функции
$L(\lambda)$ и нет других нулей этой функции.
Теорема. Если $L(\lambda)$ имеет бесконечно много нулей и все члены $K_n(z)=0$,
то $F(z)\equiv0$.
УДК:
517.53 Статья поступила: 26.06.1969