Некоторые экстремальные задачи для конформных и квазиконформных отображений

Изучаются связанные вариационные задачи для конформных и квазиконформных отображений. Рассматриваются классы $q$-квазиконформных гомеоморфизмов плоскости на себя, конформных в конечном числе фиксированных конечносвязных жордановых областей с непересекающимися замыканиями. Отображения принимают в конечном числе заданных точек заданные значения вместе со своими производными произвольных фиксированных конечных порядков (эти порядки равны нулю для тех выделенных точек, которые не принадлежат указанным областям). В этих классах отображений установлены свойства отображений, минимизирующих отклонение (аналог задачи Тейхмюллера). Решается общая задача о нахождении максимума действительного функционала, зависящего от значений отображений и их производных до некоторого порядка в конечном числе фиксированных точек (отличных от выделенных точек, в которых заданы условия нормировки). Установлены свойства экстремальных функций таких функционалов в терминах характеристики обратного отображения. В качестве примеров получены точные оценки для некоторых конкретных функционалов. Например, установлены точные оценки для тейлоровских коэффициентов нормированных конформных отображений единичного круга, которые продолжаются до $(1+\varepsilon)$-квазиконформных гомеоморфизмов комплексной плоскости, где $\varepsilon>0$ достаточно мало. Рассмотрены также и гомеоморфизмы двух произвольных односвязных областей друг на друга, конформные на определенном подмножестве из области задания.