Об областях абсолютной сходимости степенных рядов с двумя переменными

В работе решается вопрос о связи между сходимостью на множестве $E\subset \mathbf C^2$ ряда $\sum\limits_{i,k=0}^\infty a_{ik}z^iw^k$ и его абсолютной сходимостью для некоторых определений сходимости. Сходимость двойного ряда в точке обычно определяют следующим образом.
Определение 1. Ряд $\sum\limits_{i,k=0}^\infty a_{ik}z^iw^k$ называется сходящимся в точке $(z_0,w_0)$, если
$$ \lim_{p,q\to\infty}S_{p,q}(z_0,w_0)=A,\quad |A|<\infty,\quad S_{p,q}(z_0,w_0) =\sum_{i,k=0}^{p\,q}a_{ik}z_0^iw_0^k. $$
Для этого определения сходимости нами доказана теорема, по которой можно указать для любого множества сходимости $E\subset\mathbf C^2$ множество абсолютной сходимости $M_E$. С другой стороны отмечено, что для любой точки $(z_0,w_0)\bar\in M_E$ можно построить ряд, сходящийся на $E$ и не сходящийся абсолютно в точке $(z_0,w_0)$. Вводится еще следующее определение сходимости.
Определение 2. Ряд $\sum\limits_{i,k=0}^\infty a_{ik}z^i w^k$ называется сходящимся в точке $(z_0,w_0)$, если
$$ \lim_{n\to\infty} S_{nn}(z_0,w_0)=\lim_{n\to\infty}S_{n\,n-1}(z_0,w_0) =\lim_{n\to\infty}S_{n-1\,n}(z_0,w_0)=A,\quad |A|<\infty. $$

Для сходимости ряда в смысле определения 2 доказана
Теорема. Если ряд сходится в области $C$, то он сходится абсолютно в наибольшей логарифмически выпуклой области, содержащейся в области $C$.
Рассмотрено еще одно определение сходимости и получены некоторые другие результаты.