О методе Ньютона–Канторовича и его некоторых модификациях

Рассматривается приближенное решение операторных уравнений
\begin{equation} Px=0, \label{1} \end{equation}
где $P$ – нелинейный непрерывный оператор из банахового пространства $X$ в нормированное пространство $Y$, методом Ньютона–Канторовича и его некоторыми модификациями
\begin{equation} x_{n+1}=x_n-(V'x_q)^{-1}Px_n\quad (q\in[1,2,\dots,n]), \label{2} \end{equation}
где $V\in[X\to Y]$ – вспомогательный оператор, в общем случае, не совпадающий с $P$. Предполагается, что $V$ в некотором множестве пространства $X$ имеет непрерывную сильную производную, а $(V'x_0)^{-1}V'x$ и $(V'x_0)^{-1}Rx$, где $Rx=Vx-Px$, удовлетворяют условию Липшица. При гипотезах Л. Канторовича с учетом указанного расширения их проводится обоснование (сходимость, существование и единственность решения \eqref{1}) процесса \eqref{2} методом мажорант. В частности, при $V=P$ установлена сходимость процесса
\begin{equation} x_{n+1}-x_n-(P'x_q)^{-1}Px_n\quad (q\in[1,2,\dots,n]). \label{3} \end{equation}
к решению уравнения \eqref{1}.
Рассматриваются апостериорные оценки сходимости \eqref{2}, улучшающие мажорантные, а также аналитические оценки сходимости \eqref{3} с переключениями с основного на модифицированный процессы.