Об $\forall\exists$-теориях свободных проективных плоскостей

Изучаются элементарные свойства свободных проективных плоскостей конечного ранга. Доказывается, что для $m>n$, произвольных $\forall\exists\forall$-формулы $\Phi(\bar{y})$ и набора $\bar{u}$ элементов свободной проективной плоскости $\frak{F}_n$ из истинности $\Phi(\bar{u})$ в плоскости $\frak{F}_m$ следует истинность $\Phi(\bar{u})$ в плоскости $\frak{F}_n$. Отсюда вытекает, что $\forall\exists$-теории свободных проективных плоскостей различных конечных рангов совпадают.