О регулярности отображений, обратных к соболевским, и теория $\mathscr{Q}_{q,p}$-гомеоморфизмов

Доказано, что всякий гомеоморфизм $\varphi: D\to D'$ евклидовых областей в $\Bbb R^n$, $n\geq2$, класса Соболева $W^1_{p,\operatorname{loc}}(D)$, $p\in[1,\infty)$, с конечным искажением индуцирует ограниченный оператор композиции из весового пространства Соболева $L^1_p(D';\omega)$ в $L^1_p(D)$ для некоторой весовой функции $\omega:D'\to (0,\infty)$. В качестве следствия отсюда вытекает, что при условиях $p>n-1$, $n\geq 3$, или $p\geq1$, $n\geq 2$, обратный $\varphi^{-1}: D'\to D$ к такому гомеоморфизму принадлежит классу Соболева $W^1_{1,\operatorname{loc}}(D')$, имеет конечное искажение и дифференцируем $\mathscr{H}^{n}$-п. в. в $D'$. Получены применения этого результата к теории $\mathscr{Q}_{q,p}$-гомеоморфизмов и обобщен метод его доказательства для гомеоморфизмов групп Карно.
Дополнительно доказано, что класс $\mathscr{Q}_{q,p}$-гомеоморфизмов полностью определяется контролируемым изменением емкости кубических конденсаторов: их оболочки суть концентрические кубы.