Синтез оптимальных управлений для амплитудно-импульсных систем в задаче минимизации среднего значения функционала квадратичного типа

Рассматривается задача синтеза оптимальных управлений для дискретных систем, описываемых линейным разностным уравнением вида
\begin{equation} x_{t+1}=Ax_t+bu_t+f_t,\quad t=0,1,2,\dots, \label{1} \end{equation}
в котором $x_t$ – вектор состояния системы; $u_t=u(x_t,t)$, где $u(x,t)$ – вектор-функция (управление); $A,b$ – постоянные матрицы такие, что пара $(A,b)$ управляема; $f_t$ – вектор-функция возмущений системы, удовлетворяющая условию $|f_t|\leq\operatorname{const}$ при $t=0,1,2,\dots$. В \eqref{1} все векторы и матрицы вещественные и имеют соответствующие размерности. Вещественная вектор-функция $u(x,t)$ называется допустимым управлением, если для решения $x_t$ уравнения \eqref{1} с $u_t=u(x_t,t)$ при заданном начальном условии $x_0$ выполнены условия:
$$ \varlimsup_{N\to+\infty}N^{-1}\sum_{t=0}^{N-1} |x_t|^2<\infty,\quad \lim_{t\to+\infty}t^{-1}|x_t|^2=0,\quad \varlimsup_{N\to+\infty}N^{-1}\sum_{t=0}^{N-1}|u(x_t,t)|^2<\infty. $$
Критерий качества допустимых управлений определяется функционалом вида
\begin{equation} S(u)=\varlimsup_{N\to+\infty}N^{-1}\sum_{t=0}^{N-1}F(x_t,u_t), \label{2} \end{equation}
где $F(x,u)$ – вещественная квадратичная форма векторных переменных $x,u$; $x_t$ – решение уравнения \eqref{1} с начальным значением $x_0$. Рассматривается задача минимизации функционала $S(u)$ на множестве допустимых управлений.
Получено достаточное частотное условие существования синтезированного оптимального управления и показано, что это условие является “почти необходимым”. Так как синтезированное оптимальное управление, вообще говоря, не единственное, вводится понятие синтезированного локально оптимального управления. Показано, что при выполнении частотного условия существует и притом единственное синтезированное локально оптимальное управление, которое получено в явном виде. Для нахождения этого управления приведены две алгебраические процедуры. Существенным моментом доказательств основных утверждений является использование частотной теоремы, которая состоит в установлении необходимых и достаточных условий для представления квадратичной формы $F(x,u)$ в специальном виде.