Частотная теорема в теории управления

Даны система
\begin{equation} \frac{dx}{dt}=Ax+bu \label{1} \end{equation}
и эрмитова форма $G(x,u)$. Здесь $x,u$ – векторы размерностей $N$ и $n$, $A,b$ – постоянные матрицы. Рассматривается задача определения условий существования матрицы $H=H^*$ такой, что
\begin{equation} \frac{d}{dt}x^*HX\leq G(x,u),\quad\forall x,u. \label{2} \end{equation}
В \eqref{2} $\dfrac{d}{dt}x^*Hx=2\operatorname{Re}xH(Ax+bu)$ – производная в силу \eqref{1}. К этой задаче сводится ряд задач нелинейной теории управления (отыскание условий абсолютной устойчивости, неустойчивости, диссипативности, конвергенции, дивергенции, существования периодических, почти периодических режимов, их устойчивости, наличия автоколебаний). Оказывается, при выполнении \eqref{2} существуют матрицы $H,h,\varkappa$ такие, что
\begin{equation} 2\operatorname{Re}x^*H(Ax+bu)+|h^*x-xu|^2=G(x,u),\quad \forall x,u. \label{3} \end{equation}

Задачи синтеза оптимального управления при минимизации квадратичных функционалов разных типов приводят к необходимости отыскания $H,h,\varkappa$ в \eqref{3}. Устанавливаются условия существования матрицы $H=H^*$ в \eqref{2} и процедуры определения $H=H^*,h,\varkappa$ в \eqref{3}.
Рассматриваются аналогичные задачи для дискретного случая, когда вместо \eqref{1} система управления описывается уравнением
$$ x_{t+1}=Ax_t+bu_t\quad (t=0,1,2,\dots), $$
неравенство для $H=H^*$ имеет вид
\begin{equation} (Ax+bu)^*H(Ax+bu)\leq G(x,u),\quad\forall x,u, \label{4} \end{equation}
и вместо \eqref{3} уравнение для $H,h,\varkappa$ имеет вид
\begin{equation} (Ax+bu)^*H(Ax+bu)+|h^*x-\varkappa u|^2=G(x,u),\quad \forall x,u. \label{5} \end{equation}
Приведена простая замена, которая сводит \eqref{4} и \eqref{5} соответственно к \eqref{2} и \eqref{3}.
Указанные задачи и их специальные случаи изучались в следующих работах: В. А. Якубович, ДАН СССР, 143, № 6 1962, 1304–1306; R. Е. Kalman, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 49, 1963; Ф. P. Гантмахер, В. А. Якубович, Труды 2-го Всесоюзного съезда по теор. и прикл. мех., “Наука”, М., 1965; G. Szegö, R. Kalman, С. г. Acad. Sci., 257, 1963; В. М. Попов, Гиперустойчивость автоматических систем, “Наука”, М., 1970 и в работах других авторов. Полученные процедуры определения $H,h,\varkappa$ отличаются от ранее известных (и не формулируемых ранее явно) наиболее существенно в том отношении, что ранее требовалась факторизация матричного $n\times n$ многочлена степени $N$, приведенные же процедуры требуют факторизации лишь скалярного многочлена степени $N$. Помимо указанной факторизации для определения $H,h$ используются лишь рациональные операции.