Об одном классе порядково секвенциально непрерывных функционалов и регулярных борелевских мер

Положительный (линейный) функционал $f$ на векторной решетке $X$ называется $(o^+)$-линейным, если для любой последовательности $0\le x_n\downarrow$ найдется $y_n\uparrow$, $y_n\le x_n$ такая, что $\inf f(x_n)=\sup f(y_n)$. Эти функционалы занимают промежуточное место между $(o)$-линейными (порядково секвенциально непрерывными) и вполне линейными (порядково непрерывными). Мера $\mu$ на бикомпакте $B$ называется $\sigma^+$-нормальной ($\sigma$-нормальной), если интеграл по этой мере $(o^+)$-линеен ($(o)$-линеен) на $C(B)$. Дается ряд характеристик $(o^+)$- линейности и $\sigma^+$-нормальности. Так, положительные $(o^+)$-линейные функционалы характеризуются как $(o)$-линейные, имеющие единственное положительное продолжение на $K_\sigma$-пополнение векторной решетки $C(B)$, $\sigma^+$-нормальные меры – как наследственно $\sigma$–нормальные по замкнутым подмножествам, а также как меры, аннулирующиеся на границах нуль-множеств из $B$.