Регулярность выпуклых областей с регулярной в классах Гёльдера метрикой

Доказывается, что если выпуклая поверхность $S$ имеет метрику $ds^2$ положительной кривизны и класса $C^{n,\alpha}$, $n\ge2$, $0<\alpha<1$, то и сама поверхность $S$ будет класса $C^{n,\alpha}$, причем эта гарантируемая гладкость – наилучшая. Доказательство основано на получении априорных оценок в $C^{2,\alpha}$ для решений уравнений Монжа–Ампера и на методе А. В. Погорелова, примененном им для исследования аналогичного вопроса в классах $C^n$, $n\ge2$.