Математическое ожидание непрерывных функций случайных величин, гладкость и дисперсия

Рассматривается вопрос об оценке разности $E[f(\xi)]-f[E(\xi)]$, где $\xi$ – некоторая случайная величина, $E(\xi)$ – ее математическое ожидание и $f(x)$ – непрерывная на числовой оси функция. Дано общее неравенство, выражающее такую оценку в принятых вероятностных и теоретико-функциональных терминах. Для биномиального закона распределения, когда в качестве $f(x)$ рассматриваются некоторые функции с типичными особенностями $(x^\alpha,x\ln x)$, полученные результаты существенно улучшают ранее известные оценки приближения полиномами С. Н. Бернштейна.