К вопросу о базисности системы экспонент на полуоси

Пусть $\lambda_k$ – комплексные числа, $\operatorname{Re}\lambda_k>0$, $k=1,2,\dots$; $S_k$ – кратность появления $\lambda_k$ на “отрезке” $\lambda_1,\dots,\lambda_k$; $\{z_k\}$ – множество всех попарно различных чисел последовательности $\{\lambda_m\}$; $L_2(0,+\infty)$ – гильбертово пространство определенных на положительной полуоси функций со скалярным произведением $(x,y)=\displaystyle\int_0^\infty x(t)\overline{y(t)}\,dt$. Доказывается следующий результат.
Теорема. Система $\{t^{s_k-1}e^{-\lambda_kt}\}_{k=1}^\infty$ является безусловным базисом в замыкани своей линейной оболочки по топологии $L_2(0,+\infty)$ тогда и только тогда, когда $\sup\limits_{k}S_k<+\infty$ и
$$ \inf_{k}\prod_{\stackrel{j=1}{j\neq k}}^\infty\biggl|\frac{z_j-z_k}{z_j+\overline{z}_k} \biggr|>0. $$

Библ. 3.