О непрерывной зависимости решений простейших вариационных задач от интегранда

В связи с поставленным Уламом вопросом об условиях непрерывной зависимости локальных минимумов функционала $\mathfrak{I}(u(t))=\int_a^bL(t,u(t),\dot u(t))\,dt$, $u(t)\in C^1$, $u(a)=A$, $u(b)=B$, от изменений интегранда в $C$-норме доказано, что такая зависимость имеется даже в $C^{1,\gamma}$-норме, если рассматриваемые интегранды $L(t,u,v)\colon[a,b]\times\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ строго выпуклы по $v$ и принадлежат некоторому классу Гельдера. Этот факт устанавливается как для слабых, так и для сильных локальных минимумов функционала. Предложенное доказательство представляет собой получение стандартных в теории регулярности слабых решений эллиптических уравнений оценок, доказательство которых для минимизирующих последовательностей позволяет установить как существование решения, так и его непрерывную зависимость от интегранда без использования каких-либо теорем функционального анализа, кроме теоремы Арцела.
Библиогр. 5.