О теореме восстановления в случае бесконечной дисперсии

Пусть $\{\xi_n\}$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, $\mathrm M\xi_1=\mu>0$, $F(x)=\mathrm P(\xi_1<x)$, $S_0=0$, $S_n=\xi_1+\xi_2+\dots+\xi_n$ , $n\geq1$; $H(A)=\sum\limits_{n=0}^\infty\mathbf P(S_n\in A)$ – мера восстановления, $\displaystyle F_2([0,t))=\int_0^t\int_x^\infty(1-F(y))\,dy\,dx/\mu$, $\displaystyle F_2([-t,0))=\int_{-t}^0\int_{-\infty}^x F(y)\,dy\,dx/\mu$, $t>0$. Доказывается, что: 1) если $F_2([0,t))\to\infty$, $t\to\infty$, или $H([0,t))-t/\mu\to\infty$ или $H([0,t))-t/\mu\to\infty$, $t\to\infty$, то $H([0,t))-t/\mu\sim F_2([0,t))/\mu$, $t\to\infty$; 2) если $F_2([-t,0))\to\infty$, $t\to\infty$, или $H([-t,0))\to\infty$, $t\to\infty$, то $H([-t,0))\sim F_2([t,0))/\mu$, $t\to\infty$.
Библ. 11.