Обобщенная симметрическая производная и суммируемость кратных тригонометрических рядов методом Лебега

Вводится понятие обобщенной симметрической производной нечетного порядка для функций $N\geq2$ переменных. Доказывается, что у функции $f(x)$ ($x=(x_1,\dots,x_N)$), которая в окрестности точки $x^0$ имеет непрерывные частные производные до порядка $2r+1$ включительно, существует обобщенная симметрическая производная порядка $2r+1$, равная $\operatorname{div}[\Delta^rf(x)]_{x=x^0}$, где $\operatorname{div}=\sum\limits_{k=1}^N\dfrac{\partial}{\partial x_k}$, $\Delta=\sum\limits_{k=1}^N\dfrac{\partial^2}{\partial x_k^2}$. Устанавливается связь между сферической сходимостью тригонометрического ряда в точке и существованием в этой точке обобщенной симметрической производной первого порядка у некоторой функции, определяемой “проинтегрированным” рядом. Результаты можно рассматривать как многомерные аналоги теоремы Лебега о регулярности метода суммирования Лебега.
Библ. 8.