О нормирующих подпространствах, биортогональных системах и предсопряженных пространствах Банаха

Пусть $\{x_i,x_i^*\}_{i\in I}$ – биортогональная система в банаховом пространстве $X$ и $\Gamma=\{x_i^*\}\subset X^*$ – ее пространство коэффициентов. Доказано, что если система $\{x_i,x_i^*\}_{i\in I}$ ограничена (т. е. $\sup\|x_i\|\|x_i^*\|<\infty)$ то на пространстве $X$ существует такая эквивалентная норма, что в новой норме характеристика Диксмье каждого, не содержащего $\Gamma$, подпространства $G\subset X^*$ будет строго меньше единицы. Отсюда получается, что если $X$ имеет полную ограниченную биортогональную систему, то $X$ может быть так эквивалентно перенормировано, что относительно новой нормы пространство $X$ будет единственным с точностью до изометрии предсопряженным к своему сопряженному пространству.
Библ. 9.