Об ограниченных и неограниченных полных биортогональных системах в пространствах Банаха

Пусть $X$ – пространство Банаха и $X^*$ – его сопряженное. Система элементов $\{x_i,x_i^*\}_{i\in I}\subset X\times X^*$ называется биортогональной, если $x_i^*(x_j)=\delta_{ij}$ ($i,j\in I$). Биортогональная система называется ограниченной, если $\sup\|x_i\|\cdot\|x_i^*\|<\infty$, и полной, если замыкание линейной оболочки системы $\{x_i\}_{i\in I}$ совпадает со всем пространством $X$. Доказано, что если несепарабельное банахово пространство имеет полную биортогональную систему, то оно имеет полную биортогональную и ограниченную систему.
Библ. 7.