Размерностные ограничения в задачах комбинаторной геометрии

Данная заметка продолжает заметку автора “Универсальные покрышки. II”. Основные результаты работы таковы.
Если $k\le n$ таково, что при любом непрерывном распределении единичной массы в $R^n$ найдутся такие $k$ гиперплоскостей в общем положении, что в каждом из ограниченных ими секторов содержится $1/2^k$ массы, то $kn\ge2^k-1$.
Для любого плоского центрального симметричного $4n$-угольника, описанного вокруг круга единичного диаметра, найдется $n$-мерное тело диаметра $1$, никакая проекция которого на плоскость не может быть покрыта этим многоугольником.
Если $k\le n$ таково, что во всякое выпуклое $n$-мерное тело можно вписать $k$-мерный (прямоугольный) параллелепипед так, чтобы все его вершины лежали на границе тела, то
$$ n(k+1)\ge2^k\biggl(\frac{2n-k+1}{2}k+n\ge 2^k\biggr). $$

Для любого $n\ge3$ существует $n$-мерное выпуклое тело, вокруг которого нельзя описать разностное тело никакого симплекса.
Библ. 9.