О нильпотентных подпрямых произведениях

Получен положительный ответ на следующий вопрос Ю. М. Горчакова из “Коуровской тетради”: пусть группа $G$ и ее нормальная подгруппа $N$ обе являются подпрямыми произведениями одних и тех же групп $G_1,\dots,G_m$; верно ли, что ступень нильпотентности фактор-группы $G/N$ растет с ростом $m$?
Библ. 3.