О некоторых задачах в теории симплексов Шоке, связанных с гармоническими пространствами
Д. Г. Кесельман
Аннотация:
В метризуемом симплексе Шоке
$S$ рассмотрим:
$E(S)$ – множество его
крайних точек, $\operatorname{Sh}_S=\overline{E(S)}\setminus E(S)$,
$\mu_x$ –
максимальную меру с барицентром
$x$,
$M_x^{+}(F)$ – множество всех вероятностных мер, представляющих точку
$x$ и сосредоточенных на замкнутом множестве
$F\subseteq S$,
$\operatorname{face}(x)$ – наименьшая грань
$S$,
содержащая точку
$x$,
$P(S)$ – множество во всех непрерывных, выпуклых на
$S$
функций;
$A(S)=P(S)\cap (-P(S))$. На
$B$ – множестве всех вещественных, ограниченных на
$E(S)$ борелевских функций построим оператор Дирихле
$f\to u_f$, где
$u_f(x)=\mu_x(f)$,
$x\in S$. Обозначим через
$A_f=\{x\in S: u_f$ непрерывна в точке
$x\}$. В этой работе исследуются множества:
$A=\bigcap\limits_{f\in C(\overline{E(S)})|_{E(S)}}A_f$,
$A_0=\bigcap\limits_{f\in B}A_f$,
$I=S\setminus A$,
$I_0=S\setminus A_0$.
Теорема.
$$
A_f=\{x\in S:\hat{f}(x)=\check{f}(x)\},\quad\text{где}\quad\hat{f}=\inf
\{a\in A(S):a|_{E\subset S}\geq f\},
\quad \check{f}=-(-\hat{f}).
$$
Теорема. 1)
$A=\{x\in S:M_x^{+}(\overline{E(S)})\}=\{\mu_x\}$;
$\exists p\in P(S)$, что
$A=A_{p|_{E(S)}}$; 2)
$A$ типа
$G_\delta$ и плотно в
$S$; если
$\operatorname{Sh}_S\neq\varnothing$, то 3)
$I$ выпукло;
$x\in I$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{face}(x)\cap I\neq\varnothing$; 4)
$(\forall y\in S)$ и
$(\forall x\in I)$ $]y:x]\subseteq I$ (откуда
$I=S$).
Теорема. 1)
$x\in A$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{face}(x)\subseteq A_0$
(
$x\in I_0$ $\Leftrightarrow$ $\operatorname{face}(x)\cap I_0\neq \varnothing$);
2)
$I_0$ выпукло; (
$\forall y\in S$) и (
$\forall x\in I_0$)
$]y;x]\subseteq I_0$; 3) если в
$E(S)$ нет изолированных точек, то мера
$\mu_x$ не имеет атомных составляющих (
$\forall x\in A_0$).
Эти результаты позволяют заметить, что точки
$A_0$ соответствуют точкам
открытого множества
$\omega\subset R^n$, где решается задача Дирихле. Далее выяснено, что если
$x\in\operatorname{Sh}_S$ обладает мерой
$\nu_x\in M_x^{+}(S)$, нагружающей плотную долю, то
$S$ – примарный симплекс. Дана связь точек
$\operatorname{Sh}_x$ с плотными долями квазивнутренности
$A_0$.
В заключение получена квазипиковая характеристика иррегулярных точек для оператора Лапласа.
Библ. 9.
УДК:
513.88
Статья поступила: 19.03.1982