Эта публикация цитируется в
4 статьях
О росте целых функций
И. И. Марченко,
А. И. Щерба
Аннотация:
Пусть
$f(z)$ – целая функция в плоскости
$\mathbf C$. Положим
$$
M(r,f)=\max_{|z|=r}|f(z)|,\quad T(r,f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln^{+}|f(re^{i\theta})|
\,d\theta,
$$
где
$\ln^{+}x=\max(\ln,0)$. В работе получены следующие результаты.
Теорема 1. Пусть $\varepsilon(t)$ – положительная неубывающая функция, для
которой $\displaystyle\int_{x_0}^\infty\dfrac{dt}{t\cdot\varepsilon(t)}<\infty$.
Тогда для каждой целой функции $f(z)$, не равной тождественно постоянной,
$$
\varliminf_{r\to\infty}\frac{\ln M(r,f)}{T(r,f)\cdot\varepsilon(T(r,f))}=0.
$$
Теорема 2. Пусть $\Phi(x)$ – положительная, неубывающая дважды непрерывно дифференцируемая выпуклая функция такая, что
$$
\lim_{x\to\infty}\frac{x\cdot \Phi'(x)}{\Phi(x)}=1
$$
и
$$
\int_{x_0}^\infty \frac{dt}{\Phi(t)}=\infty.
$$
Тогда существует целая функция $f(z)$, для которой
$$
\varliminf_{r\to\infty}\frac{\ln M(r,f)}{\Phi(T(r,f))}=\infty.
$$
Теорема 1 усиливает результат Симидзу [1929].
Библ. 14.
УДК:
517.535.4
Статья поступила: 17.05.1982