Задача Коши для модифицированного уравнения Кортевега–де-Фриза с начальными данными типа ступеньки

Используя метод псевдопараболической регуляризации, показано существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных данных решения задачи
\begin{equation} u_t-u^2u_x+u_{xxx}=0, \quad u(x,0)=f(x),\quad -\infty<x<\infty,\quad t\geq0, \label{1} \end{equation}
в пространстве $X^s$, $s\geq3$ (состоящее из функций $f(x)$, имеющими разные пределы на $\pm\infty$) с нормой
$$ \||f\||^2_s=\int_{-\infty}^\infty[f(x)-c_f\operatorname{sgn}(x)]^2\,dx +\sum_{k=}^s\int_{-\infty}^\infty|d^kf/dx^k|^2\,dx. $$

Кроме того, доказана устойчивость формы решения вида уединенной волны, принадлежащее $X^s$ для любого $t\geq0$.
Основной результат:
Пусть $f(x)\in X$, $s\geq3$. Тогда существует единственное глобальное решение $u(x,t)$ задачи \eqref{1}, которое принадлежит $X^s$ для каждого $t\geq0$ и $\sup\limits_{t\geq0}\||u(x,t)\||_s<\infty$.
Библ. 17.