Одно интегральное неравенство для дифференцируемых функций многих переменных

Пусть $f\colon U\to\mathbf R^k$ – отображение класса $W^1_{k,\operatorname{loc}}(U)$ области $U$ в пространстве $\mathbf R^n$. Для набора индексов $J=(j_1,j_2,\dots,j_k)$ $\Delta_J(x,f)$ есть минор матрицы Якоби отображения $f$, образованный столбцами, номера которых есть $j_1,j_2,\dots,j_k$, $h_J(x-a)=(x_{j_1}-a_{j_1})^2+(x_{j_2}-a_{j_2})^2+\dots+(x_{j_k}-a_{j_k})^2$. В статье устанавливается, что для почти всех $r$
$$ \int_{B(a,r)}\Delta_J(x,f)\,dx\leq\frac1k\int_{S(a,r)}\frac{h_J(x-a)}r \|f'(x)\|^k\,d\sigma_{n-1}(x)\qquad\qquad (*) $$
($B(a,r)$ – шар с центром $a$, радиусом $r$, $S(a,r)$ – его граничная сфера). Приводятся некоторые следствия и приложения неравенства $(*)$. Вывод $(*)$ основан на использовании классического изопериметрического неравенства.
Библ. 5.