О некоторых минимальных условиях, определяющих изометрические и подобные отображения

Выясняется, насколько может быть ослаблено требование сохранения отображением некоторого расстояния с тем, однако, чтобы любое удовлетворяющее этому (ослабленному) условию отображение было изометрией. Доказывается, в частности,
Теорема. Зафиксируем пространство Лобачевского $\text{Л}^n$, $n\ge3$ (т.е. зафиксируем размерность $n$ и радиус кривизны). Пусть множество $M\subset R^+$ плотно в $R^+$. Существует множество $\Omega\subset M$, плотное в $R^+$ и обладающее следующим свойством: если $f\colon\text{Л}^n\to\text{Л}^n$ – такое инъективное отображение, что из условия $\rho(X,Y)=1$ (где $\rho(X,Y)$ расстояние между $X,Y\in\text{Л}^n$ следует $\rho(f(X),f(Y))\in\Omega$, то $f$ – изометрия.
Библ. 2 .