Гладкость выпуклых поверхностей и обобщенных решений уравнения Монжа–Ампера на основе дифференциальных свойств квазиконформных отображений

Рассматриваются вопросы связи гладкости двумерной выпуклой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве и гладкости ее внутренней метрики. Основным результатом работы является доказательство того, что если кривизна выпуклой поверхности (положительной кривизны) обладает в точке $(n,\alpha)$-аппроксимативным дифференциалом $n=0,1,2,\dots,0$, $0<\alpha<1$, т. е. существуют полином $P_n(x,y)$ и постоянная $C>0$ так, что $|K(x,y)-P_n(x,y)|\le C(x^2+y^2)^{(n+\alpha)}/2$, то сама поверхность в этой точке обладает $(n+2,\alpha)$-аппроксимативным дифференциалом. Аналогичный результат получен для обобщенных решений уравнения Монжа–Ампера. Доказано, что если правая часть уравнения Монжа–Ампера есть функция классов $C^{n,\alpha}$ ($n=0,1,2,\dots,0<\alpha<1$), то всякое обобщенное решение принадлежит классу $C^{n+2,\alpha}$. Полученные результаты применяются к исследованию вопросов гладкости решения проблемы Минковского.
Библиогр. 8.