О потенциалах мер в банаховых пространствах

Пусть $X$ – банахово пространство, $K$ – непрерывная функция на полуоси $t\geq0$. Функция $K$ или число $\lambda$ (при $K(t)=t^\lambda$, $\lambda\in\mathbf R$) называются исключительными для $X$, если существует такой нетривиальный регулярный борелевский заряд $\mu$ ограниченной вариации на $X$, что при всех $a\in X$ и $\alpha\geq0$ интегралы $\displaystyle\int_X K(\alpha|x-a|)\,d\mu(x)$ абсолютно сходятся и равны нулю. Доказано, что для $X=l_p^n$, $1\leq p<\infty$, среди чисел $\lambda$ исключительными являются только такие, для которых $\lambda/p\in\mathbf N$ и, кроме того, выполняется одно из трех условий: $\lambda/p<n$, $p$ – четное, $p$ и $\lambda/p$ – оба нечетные. При $X=l_\infty^n$ в комплексном случае исключительными являются четные $\lambda$, а в вещественном – такие, что $\lambda+n$ нечетно. Когда $X$ – $p$-сумма бесконечного числа гладких банаховых пространств (в частности, $X$ – бесконечномерное $L^p$-пространство), исключительными являются значения $\lambda$, кратные $p$. Если $X=C(Q)$, где $Q$ – бесконечномерный метрический компакт без изолированных точек, то среди выпуклых непостоянных функций $K$ нет исключительных. Доказан также бесконечномерный вариант леммы Картана о покрытиях, позволяющий получать оценки для потенциалов мер в бесконечномерных пространствах.
Библиогр. 29.