Отображения, почти сохраняющие выпуклость

Будем называть подмножество $A$ действительного линейного пространства лебеговски выпуклым (соответственно бэровски выпуклым), если для каждых различных точек $X$, $Y\in A$ множество $A$ содержит почти весь отрезок $[X,Y]$ в смысле меры Лебега на $[X,Y]$ (соответственно в смысле категории по Бэру). Пусть $L$ и $L'$ – действительные линейные пространства, $\operatorname{dim}L\ge2$. Доказано, в частности, что если $f\colon L\to L'$ – такое инъективное отображение, что для каждого выпуклого множества $M\subset L$ множество $f(M)$ лебеговски выпукло (соответственно бэровски выпукло), то отображение $f$ аффинно.
Библиогр. 3.